Číselné obory

Co jsou to číselné obory

Číselný obor je množina čísel, na nichž je bez omezení definována operace sčítání a násobení. Vůči těmto operacím je uzavřený, to znamená, že i jejich výsledky patří do téhož oboru.

Přirozená čísla

Zvláštním případem „vyjádření množství“ je „vyjádření počtu“ přidělení určitého čísla skupině objektů, o kterých uvažujeme jako o jednotkových (každý z nich je „jeden“) a dále nedělitelných. Tomuto vyjadřování počtu říkáme v běžném jazyce počítání a čísla, používaná k vyjádření počtu jsou označována jako přirozená čísla.

Přirozená čísla jsou obvykle označována symbolem N. Podle toho, k jakým účelům se definice přirozených čísel používá, je mezi ně někdy zařazován i „počet objektů v prázdném souboru“, číslo 0. Aby v tomto nedocházelo k nejasnostem, používá se obvykle pro přirozená čísla s nulou symbol

N0 = {1, 2, 3}

a pro přirozená čísla bez nuly symbol

Celá čísla

Přirozená čísla jsou naprosto postačující, dokud je v rámci počítání používáno pouze sčítání a násobení, případně mocnění. Při pokusu o „opačné“ početní operace ale přirozená čísla již nestačí.

Příkladem takové nedostatečnosti je určení „počtu peněz, které dluží Karel Jirkovi“. Dokud Karel dluží Jirkovi, je vše v pořádku a „vejdu“ se do přirozených čísel. Dokonce ještě v případě, kdy Karel vše vrátí, lze se s tím vypořádat v oboru N0. Co ale s případem, kdy se situace otočí a Karel naopak půjčí nějaké peníze Jirkovi (nebo mu vrátí víc, než kolik mu dlužil)?

Tato motivace, zachycení záporných počtů především v oblasti financí, vedla k rozšíření oboru přirozených čísel na celá čísla, která vzniknou z N0 přidáním „zrcadlových obrazů“ jednotlivých počtů:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Tyto zrcadlové obrazy mi umožňují odpověď ve výše uvedeném příkladě i v obrácené situaci (lze dlužit zápornou částku). Obor celých čísel je totiž uzavřený i co se týká operace opačné ke sčítání – odčítání. Lze tedy napsat například:

2 - 15 = - 13
- 7 -(-3) = - 4

Reálná čísla

Zdálo by se, že množina racionálních čísel je již dostatečná pro řešení všech matematických úloh, které by koho mohly napadnout. To vychází z myšlenky, že mezi libovolnými dvěma racionálními čísly se nachází jejich průměr, neboli jejich součet vydělený dvěma, což je také racionální číslo, takže racionální čísla pokryjí číselnou osu celou. Že tomu tak není, to zjistila již sekta Pýthágorejců v antickém Řecku. Problém, ke kterému neexistuje řešení mezi racionálními čísly, lze formulovat následujícím způsobem:

Najděte takové číslo, jehož druhá mocnina je 2.

Představím-li si rozmístění racionálních čísel na číselné ose, pak na každém jejím sebemenším kousku jich je nekonečně mnoho. Přesto se na tuto číselnou osu vejde i veliké množství (dokonce mnohem větší množství, než je všech racionálních čísel) čísel jiných – iracionálních čísel. Příkladem je číslo z výše uvedeného příkladu, které je obvykle označováno symbolem odmocnina s 2. Takováto čísla (která jsou řešením nějaké polynomické rovnice, nebo zjednodušeně řečeno, která lze vyjádřit pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocnění a odmocňování racionálních čísel) jsou nazývána algebraická.

Otázka, zda existují ještě jiná, než algebraická čísla, byla vyřešena kladně – například Ludolfovo číslo π není algebraické – jedná se o takzvané transcendentní číslo.

Množina čísel, která odpovídají veškerým myslitelným množstvím (tj. racionální, iracionální, algebraická, transcendentní), nazýváme množinou reálných čísel, používá se pro ní označení R. Na rozdíl od racionálních čísel tato množina již beze zbytku vyplňuje číselnou osu.

interaktivni cvičeni

1. Interaktivní cvičeni (lehké) 2. Interaktivní cvičeni (střední) 3. Interaktivní cvičeni (težké)

Shrnutí

Postupným rozšiřováním řešeným matematických úloh jsme se dostali k následující hierarchii číselných oborů:

N c Z c Q c R c C c H c O c S

Grafické zobrazení vztahu mezi jednotlivými množinami